Fonction statistique

Le but de cet exercice est de démontrer une propriété reliant les fonctions et les statistiques.

Partie 1 - Conjecture

On considère l'enquête statistique suivante.
« Nous aimerions recueillir vos impressions concernant nos services. Veuillez indiquer votre note du niveau de satisfaction en utilisant l'échelle suivante :
1 - Pas du tout satisfait
2 - Moyennement satisfait
3 - Satisfait
4 - Très satisfait
5 - Extrêmement satisfait. »
Les résultats de l'enquête sont les suivants :  2 personnes sont satisfaites, 1 personne est très satisfaite et 2 personnes sont extrêmement satisfaites. 

1. Déterminer la moyenne des notes attribuées à l'entreprise. 
2. On considère la fonction  \(f\)  définie sur  \(\mathbb{R}\)  par  \(f(x) = \dfrac{1}{5}\left(\color{red}2 \left(x - \color{red}3 \right)^2 + \color{green}1\left(x-\color{green}4\right)^2 + \color{blue}2\left(x-\color{blue}5\right)^2\right)\) . Déterminer pour quelle valeur de \(x\)  la fonction \(f\)  admet un minimum sur \(\mathbb{R}\) . Que vaut alors ce minimum ?
3. Quelle conjecture peut-on émettre ?

Partie 2 - Démonstration

On considère la série statistique suivante.

• Les réponses données par les personnes interrogées (les valeurs du caractère) sont les réels \(x_1\) , \(x_2\) , ..., \(x_k\) , avec \(k\)  un entier supérieur à \(1\) .
  
• Les effectifs correspondants sont notés \(n_1\) , \(n_2\) , ..., \(n_k\) . Ainsi, avec ces notations, la réponse \(x_1\)  est donnée \(n_1\)  fois, etc...
  

On note \(N = n_1 + n_2 + \ldots + n_k\) . Soit \(f\)  la fonction définie par  \(f(x) = \dfrac{1}{N}\left(n_1 \left(x - x_1\right)^2 + \ldots + n_k \left(x - x_k\right)^2\right)\) .

Montrer que \(f\)  admet un minimum sur \(\mathbb{R}\) , que ce minimum est atteint en la moyenne pondérée des valeurs du caractère et qu'il est égal à la variance de la série statistique.